Родился 1 февраля 1920 года в селе Плахино, ныне Захаровского района Рязанской области, в семье крестьянина. Окончил 7 классов неполной средней школы. В 1938 году получил специальность токаря, окончив школу ФЗУ, ныне ГПТУ № 3 города Москвы. Работал токарем на заводе имени Лихачёва. С 1940 года в Красной Армии, год спустя окончил Борисоглебскую военную авиационную школу пилотов.

Свою боевую деятельность Анатолий Свистунов начал летом 1942 года на Воронежском фронте. Там он совершил 85 боевых вылетов, участвовал в 20 воздушных боях, в которых уничтожил 1 вражеский самолёт, около 300 солдат и офицеров противника. За проявленное при этом мужество 8 марта 1943 года лётчик был награждён орденом Красной Звезды.

Храбро сражался он и в крупных сражениях летом 1943 года на Белгородском направлении: 48 раз вылетал на боевые задания, выполняя их с присущей ему доблестью. 22 вражеских самолёта врезались в землю от метких ударов Свистунова и пилотов его эскадрильи, 6 из них - на личном счету Анатолия. Храбрость и мужество лётчика были отмечены орденом Красного Знамени.

Не имея в начале войны боевого опыта, он быстро освоил тактику ведения воздушного боя и к концу войны стал одним из опытнейших воздушных бойцов не только в своём 213-м Гвардейском авиаполку, но и в 22-й Гвардейской авиадивизии. "Лётчики в бой с гвардии капитаном Свистуновым идут смело" - писал в наградном листе командир полка. Лётное мастерство, настойчивость в достижении победы над врагом отличали Свистунова, и эти качества служили примером для всех пилотов его эскадрильи.

31 мая 1944 года, прикрывая наши войска на Ясско - Кишинёвском направлении, Свистунов и его группа встретилась с 15 вражескими самолётами, шедшими на штурмовку наших наземных войск. Несмотря на численное превосходство врага, Свистунов ступил в бой. Умелыми маневрами группа отважного командира рассеяла немецкие самолёты и не дала им возможности провести прицельное бомбометание. В этом бою Анатолий сбил один вражеский бомбардировщик. Обладая высоким мастерством ведения воздушного боя, Гвардии Капитан Свистунов в течение двухдневных боёв под Яссами и Кишинёвом сбил 3 вражеские машины. Его первая эскадрилья не потеряла ни одного самолёта. За боевые заслуги в этих боях он был награждён орденом Отечественной войны 1-й степени.

Командуя эскадрильей, Свистунов умело и настойчиво передавал опыт своей боевой работы молодым лётчикам. Он вырастил десятки отличных воздушных бойцов, которые вскоре, как и их командир, стали настоящими асами.

Всего за период с 1 мая 1942 года по 1 мая 1945 года Анатолий Иванович Свистунов произвёл 274 боевых вылета, из них: на прикрытие наших наземных войск - 155, на штурмовку войск противника - 25, на сопровождение бомбардировщиков и штурмовиков - 28, на разведку - 25, на отражение налётов и перехват вражеских самолётов - 38, остальные - на "свободную охоту". Он провёл 65 воздушных боёв, в которых самолично сбил 14 самолётов, в паре - 3 и в составе группы - 18.

27 июня 1945 года за мужество и воинскую доблесть, проявленные в боях с врагами, ему было присвоено звание Героя Советского Союза.

После окончания войны продолжал служить в ВВС.

Награждён орденами Ленина, Красного Знамени ( дважды ), Отечественной войны 1-й степени, Красной Звезды, медалями.

26 апреля 1946 года погиб в авиационной катастрофе. Похоронен в городе Вене ( Австрия ).

Истребитель Bell P-39Q Airacobra из состава 213-го ГвИАП, на котором летом 1944 года сражался гвардии старший лейтенант Н. А. Свистунов.