Родился 15 октября 1915 года в поселке Баулино, ныне Раменского района Московской области (Россия), в семье рабочего. Окончил 8 классов средней школы и фабрично - заводское училище при Московском автомобильном заводе. Работал термистом на заводе в гор. Горький.

Алексей Рязанцев успешно прошел мандатную комиссию и был направлен в Харьковскую военную авиационную школу летчиков, которую окончил в 1937 году.

С началом Великой Отечественной войны на фронте, сражался в составе 296-го истребительного авиаполка.

В августе 1942 года в одном из боев над Волгой, Алексей сбил два самолета противника, но и сам был ранен. С трудом посадил избитую машину на вынужденную и попал в госпиталь. За этот бой он был награжден орденом Красного Знамени. Вернувшись на фронт дрался в небе Донбасса, над Днепром. Там за один только месяц сбил 8 вражеских самолетов.

К сентябрю 1944 года штурман 179-го Гвардейского истребительного авиаполка ( 14-я Гвардейская истребительная авиадивизия, 3-й Гвардейский истребительный авиакорпус, 5-я Воздушная армия, 2-й Украинский фронт ) гвардии майор А. Ф. Рязанцев совершил 154 боевых вылета, провел 45 воздушных боев, в которых сбил лично 15 самолетов противника и 1 в составе группы.

Умер 31 марта 1984 года.

Як-1, на котором летал А.Рязанцев в годы войны