Родился 29 июня 1917 года в селе Гришковцы, ныне посёлок Бердичевского района Житомирской области ( Украина ), в семье рабочего. Окончил школу ФЗУ и 2 курса рабфака. Работал мотористом в авиационных мастерских города Житомира. С 1939 года в Красной Армии, год спустя окончил Одесскую военную авиационную школу пилотов.

С началом Великой Отечественной войны на фронте, воевал лейтенантом в 4-м ИАП. Через год полк, входя в 15-ю Воздушную армию, действовал на Брянском фронте и был вооружён самолётами Хаукер "Харрикейн". В середине августа 1942 года полк был переведён под Сталинград на Донской фронт и вошёл в состав 16-й Воздушной армии, получив самолёты Як-7Б. После завершения Сталинградской битвы полк был переброшен на Северо - Кавказский фронт, участвовал в боевых действиях на Кубани.

К маю 1943 года заместитель командира эскадрильи 4-го истребительного авиационного полка ( 287-я истребительная авиационная дивизия, 4-я Воздушная армия, Северо - Кавказский фронт ) старший лейтенант А. Д, Флейшман совершил 306 боевых вылетов, в 57 воздушных боях лично сбил 11 и в группе 14 самолётов противника.

24 августа 1943 года за мужество и воинскую доблесть, проявленные в боях с врагами, ему было присвоено звание Героя Советского Союза.

После войны продолжал служить в ВВС. В 1946 году окончил Военно - Воздушную академию.

С марта 1946 года в звании капитана служил на командных должностях в авиационных формированиях в Пхеньяне ( Северная Корея ), в Комсомольске - на - Амуре, в городе Дальний ( КНР ), в Приморье.

В августе 1956 года в полёте на МиГ-17 произошла аварийная ситуация, в результате которой А. Д. Флейшман был контужен, а позже уволен из ВВС в звании полковника.

После излечения работал лектором областного общества "Знание" в Харькове, директором планетария, в агропроектном институте. В 1982 году вышел на пенсию, продолжал работать лектором областного общества "Знание", председателем сектора военных знаний. С 1986 по 1989 год возглавлял Совет ветеранов войны и труда Фрунзенского района Харькова, с 1995 по 1999 год - председатель Совета инвалидов войны и военной службы Харьковской области.

Награждён орденами Ленина, Красного Знамени, Александра Невского, Отечественной войны 1-й степени ( дважды ), Отечественной войны 2-й степени, Красной Звезды, медалями