Родился в 1916 году, в деревне Малый Завраг Вохомского района Костромской области.  В Военно-Морском Флоте с 1935 года. В 1939-1940 годах принимал участие в советско-финляндской войне в составе 118-го авиационного полка Северного флота, произвел 85 вылетов на разведку военно-морских баз и коммуникаций противника.

В начале Великой Отечественной войны Л.И. Елькин - командир звена 4-й эскадрильи 118-го отдельного разведывательного авиационного полка. За годы войны произвёл 254 боевых вылета, из них 129 ночью на бомбежку войск противника и 125 днём на дальнюю и ближнюю разведку коммуникаций и военно-морских баз врага. Все боевые вылеты Л.И. Елькина были успешными и отличались высокой эффективностью. По его разведывательным данным торпедоносная авиация Северного флота потопила большое количество вражеских кораблей и транспортов. Летал Л.И. Елькин и на выполнение заданий по перевозке раненых, по доставке боезапаса и продовольствия спецгруппам, находившимся в глубоком тылу противника. Летчик неоднократно встречался в воздухе с самолётами противника и выходил из боевых столкновений победителем. При выполнении задания командующего Северным Флотом по изысканию новых аэродромов в районе Новой Земли 27 июля 1942 года в губе Малые Кармакулы самолет Л.И. Елькина был обстрелян немецкой подводной лодкой. Летчик получил тяжелые ранения в голову. После госпиталя он вернулся в свой полк и, несмотря на то, что был признан негодным к лётной службе, добился разрешения продолжать полеты. С марта 1943 г. командовал авиационной эскадрильей 118-го отдельного разведывательного авиаполка ВВС Северного флота.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 января 1944 года за доблесть и мужество, проявленные в боях с немецко-фашистскими захватчиками, за умелое воспитание подчиненных и образцовое руководство эскадрильей капитан Л.И. Елькин удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 2647).

29 февраля 1944 года при выполнении боевого задания капитан Л.И. Елькин погиб.

Награждён орденом Ленина, двумя орденами Красного Знамени, орденом Красной Звезды, медалями.